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谈高中数学不等式的解题技巧

谈高中数学不等式的解题技巧

浙江省浦江县第二中学  汪世利    322200

摘要:不等式教学内容是高中数学重要的部分,我们要引导学生掌握不等式的解题技巧,从而提升学生解题效率,促进学生数学成绩的提升。为此,本文从数学学科的特点出发,进行分析和研究,认为可以巧用换元法、运用不等式性质和利用反正法等去解决不等式问题等方面进行论述。

关键词:高中数学;不等式;解题技巧

高中数学是一门逻辑性都很强的学科。很多题目涉及到了推理、归纳和计算,要求学生思维敏捷,逻辑清楚。但是学生往往不能很好的做到,导致数学学习效果不佳。甚至还有一部分同学害怕数学,遇见解题就头疼,一分析和解题就错。那么作为数学老师就要注重学生数学知识获取和解题能力的并进。学生为何出会出现这种情况,分析其原因就是不会运用知识,就不会分析题,这样解题技巧没有掌握;对问题理解和分析的不到位,导致解题的效率不高,出现错误也是难免的。但是,我们在通过分析原因制定解决问题的办法。数学不等式属于高中数学学习中的重难点,在高考中占有一定的分数,为此,应该在日常的教学中加强对学习解题思想和能力的培养,从而提升学生的数学成绩。因此,我们要重视挖规律、重逻辑的解题技巧,促进高中学生数学解题效率的提升。

一、巧用换元法

在解决不等式的问题中,我们可以把某个式子看成一个整体,再用一个量进行替换,让原有的问题简单化,也就是利用换元法解决问题。这时不等式解题一种方法,学生要在逐步的练习中,掌握其运用技巧,从而提升解题能力。

例: 假若 a,b,c 均∈R+ ,对abc≥ ( b + c - a) · ( c + a -b) · ( a + b - c) .的不等式进行证明。我们可以这样分析并解决问题,对于不等式证明时,我们可以仔细观察,在这个过程我们就会发现a、b、c三者中的两个进行互换后,不等式是不变的。在解题时,要发现这些,这样就可以证实这是对称不等式。假设在解题过程中得出以下要求: × = b+ c - a,y = c + a - b,z = a + b -c,那么原有不等式可转化成 ( x +y) · ( y + z) · ( z + x) ≥8xyz,和已知不等式问题的联系是很密切的,那么就能按照上面的思路进行证明,这样就可以解决问题。

二、运用不等式性质

不等式性质也是我们解题的依据,我们要根据解题的学习进行应用,特别是分析问题的时候,可以利用其为特殊值进行解决。对于运用不等式性质解决的题目,也是常见的问题,教师要根据题例的情况,向学生渗透这一解题方法,从而提升学生的解题能力。例如,这样一道题:已知条件: a + b < 0 且 a > 0,那么可得出以下 ( ) 不等式成立。

A.a²<- ab < b² B.b²<- ab < a²

C.a²< b²<- ab  D.-ab < b²< a²

首先是不等式性质,我们可以引导学生对上面的题目进行分析,可以得出b < 0,a <- b,这样就可以利用不等式的性质就可以被利用,还能用特殊值来解。解: 已知: a + b < 0,a > 0,可知 b < 0,0 < a <- b,∴ 0 < a²<- ab,0 < a ( - b) < ( - b) ²,也就得出以下结论:0 < a²<- ab < b²,所以 A 不等式成立。其次就是利特殊值法来进行解: 假设 a = 1,b = - 2,那么 a² = 1,- ab = 2,b² = 4,可得出 a²<- ab < b²,所以 A不等式成立。这些问题都是与不等式性质有很大的关系,需要在题设条件的情况下,利用特殊值来解答,这样做就更加迅速。要掌握这些方法,还需要学生进行不断的练习,去发现其中用法。

三、利用反证法

反证法是在正难则反原理的基础上提出的,数学解题中应用较多,特别是在几何问题中的应用较多,而不等式问题证明中也会应用。我们要引导和指导学生对此方法进行理解和掌握,多学习一种方法就能从不同途径去解决问题,学生的解题思想和技能能力就形式,这也是高中数学教育的最根本的目的。例如,对已知条件如下: a + b + c > 0,abc> 0,ab + bc + ac > 0,需要对 a > 0,b > 0,c > 0 进行证明。我们可以这样去解题:∵abc> 0,∴ a、b、c 都不能为 0,若 a < 0,bc< 0,∵ a + b + c > 0,∴ b + c >- a,∴ a ( b + c) < 0,∴ ab + bc + ca + a ( b + c) + bc< 0,但是我们会发现:ab + bc + ca + a ( b + c) + bc< 0 和问题中的已知条件存在矛盾,这样假设就不成立。∴ a > 0。同理可证得知: b > 0,c > 0。这样我们就利用反正法解决不等式问题,我们在进行这方面的习题设计,并引导学生掌握反证法的技巧。如果我们只会用常规的办法去解决,步骤复杂,出错的几率也会增加。我们利用反正法就是提升解题速度,节省时间,同时我们可以在解方面题的时候得心应手。

总之,要掌握不等式解题技巧,需要老师指定和引导,更需要学生在大量习题练习去探索,掌握其解题的精髓。高中数学教学的目的之一就是培养和提升学生的解题技巧,这样才能在真正的实战中保证解题思路与解题逻辑的正确性,让解题的效率更好,并提升学生的数学学习成绩,发展学生数学综合素质。

 

参考文献:

[1]李小娟. 中学数学竞赛中的柯西不等式问题探究[D].西北大学,2016.

[2]江士彦. 浅析高中数学数形结合的解题技巧[J]. 读与写(教育教学刊),2015,(10):89.

[3]李严. 高中数学不等式易错题型及解题技巧[J]. 亚太教育,2015,(22):50.


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