货币金融

您现在的位置:易起论文网>> 论文>> 经济论文>> 货币金融>> 正文内容

试析金融数学中关于期权定价的问题

摘要:本文对数学金融之中设计的期权定价问题进行简要的叙述,通过对市场中的债券模型、股票模型以及一般模型进行入手分析,最后对期权定价方法加以一定的讨论,以期对相关的研究人员有所参考价值。

 

关键词:金融数学;债券模型;股票模型;期权定价;股票市场

 

中图分类号:F830;O141.4

 

前言


文献标识码:A
文章编号:1671-5853(2016)09-0004-01

 

报率,σ(·)是价格波动。若 n≥d 且 σ(t)为满秩,这样的[3]金融数学主要是指利用数学理论与方法对金融经济之中的运行规律加以研究德一门新兴的学科, 其也被称作数理金融学。 期权主要是购买方在支付一定定金给出售方后, 具有在约定日期中根据既定价格购买与出售商品方面的资产权利。

1 市场方面的简单描述

(1)债券模型

假设X0(t)是债券处于t时刻的价格, h>0, 设那么X0(t+h)-X 0 (t)便是时间区间[t,t+h]得到的回报,所以

r是时间区间[t,t+h]内单位时间中的具有相对回报率,也就是通常所说的利率。假设t是年初,而t+1是年末,年初时的债券价格是X0(t)=P,P为本金,而年末时的债券价格是X0(t+1)=A,A为本金加利息,那么上式便可以转换成r=(A-P)/P,则A=P(1+r) ,其是一个线性的常微分方程,rt该方程的解是X0(t)=X0(0)e ,因此可将(1)式变换成为X0(t+h)-X0(t)=rX0(t)h>0,由此能够看出X0(t+h)始终比X0(t)要大, 也就是说债券价格永远随着时间的推移而逐渐的[1]增加,所以说债券没有风险。

(2)股票模型

股票模型和债券相比有着非常大的差异, 假设X(t)是某股票处于t时刻的价格, 根据债券讨论的方式对其进行分析,同样对时间区间是[t,t+h]作为研究对象。因此,可以将公式X(t+h)-X(t)=rX(t)h>0变 换 成 为 如 下 式 :X(t+h)-X(t)=X(t)[bh+ση(t+h)],其中b称作平均回报率;σ 称作价格波动性;η(t+h)为归一化噪声。上式既可以是正也可以是负,所以无法确保X(t+h)始终比X(t)要大。所以说股 票 使 存 在 一 定 危 险 性 的 。 在X(t+h)-X(t)=X(t)[bh+ση(t+h)]中的 η(t+h)一般是由于大量投资者进行独立投资行为导致的。因此,η(t+h)为一个满足正态分布N(O,h)形式的随机变量,其中均值是O,均方差是h。 如果将W(t)作为到时刻t时所累积的全部噪声, 那么其刚好满足布朗运动,采用其进行记号,可以使公式变换成为X(t+h)-X(t)=X(t)[bh+σ[W(t+h)-W(t)],令 h→0,能够得到 dX(t)=bX(t)dt+σX(t)dW(t),其中t∈[0,T],这是便是bt+σW(t) [2]一个随机微分方程,其解是X(t)=xe,t∈[0,T] 。

(3)一般情形

假设存在n+1种资产一直在市场中进行连续交易,将上述资产进行由0到n编号,假设第0中为债券,其余n种是股票。假设第i中资产处于时刻t时的价格是Xi(·),根据

上述讨论方式对其进行讨论,那么

其中 W(·)≡(W1(·),···,Wd(·)) ,其是一个d维的标准布朗运动,定义在某一完整的带滤子形式的概率空间(ω,F,{Ft}t≥0,P)中,使{Ft}t≥0 是 W(·)自然生成 σT域具有的完备化。 其中 b(·)= b1(·), (···,(·)), bnσ(·)=(σij(·))n×d,其中 r(·)是利率,b(·)是股票回市场便称作是完备的,要不然便是不完备的。

2 期权定价方法

如果某一市场之中只有一种股票与一种债券处于上市状态,其价格符合下列方程:

 

 

其中X0(t)为债券价格,X(t)为股票价格,b(t)为股票回报率,σ(t)为价格波动性。

下面对欧式买入期权加以讨论,这是一种合同形式,凭此能够在提前设定的时间T、价格q前来对给定股票进行购买,将其中的T称为执行时间,q称为执行价格。能够轻易地看出,当到达时刻T时,会出现两种情况,即一种是如果t=T,X(T)>q,那么拥有期权者将会对其权益进行质实施,也就是用价格q来对这只股票进行购买,之后立即将其以价格X(T)加以抛售,从而实现利润为X(T)-q。另一种便是如果X(T)<q,那么合同便会作废。从而能够看出,买入期权必然会在时刻T产生收益:

 

 

如何进行期权价格的确定便是本文要研究的重点内容。假设处于t=0时刻时的期权价格是y,因为期权出售者处于t=T时刻将会损失(X(T)-q),那么就要将出售期权获得的y进行市场投资来对损失加以弥补。当t=0时刻将y全部投资在市场中后,其总资产便会伴随时间的推进而出现变化,计作Y(t),所以Y(0)=y,投资者期望的目标是处于时刻T+时能够达到Y(T)>(P(T)-q)。如果在时刻t使其将Y(t)换分成两部分, 投资股票的为 π(t), 另一部分投资于债券,那么容易得出,当 π(·)为固定值时,此时总资产之中的债券与股票所占的份额便是确定的,将 π(·)称作证券组合。进行一定的简单推倒必能得到 Y(·)符合下式:

 

 

 

其中,已经假设 σ(t)≠0,并定义 Z(t)=σ(t)π(t),[4]如果y越大采用同种投资方式所能得到的Y(T)也会越大。

3 结语

对于金融业发展而言,金融期权不仅可以对金融风险加以有效的转移,而且能够对众多的投资者资金加以保护,使投资者能够始终处于盈利状态,因此金融期权则是一种极好的金融创新工具,但是期权定价模型始终一个重点的研究内容,对此本文的探析有着一定的借鉴作用。

参考文献

[1]崔连香.浅论数学金融学中关于期权定价的问题[J].金融经济,2012,12(12):135-136.

[2]徐蕾,邓国和.随机波动率模型下欧式回望期权定价[J].广西师范大学学报(自然科学版),2015,03(03):79-90.

[3]袁国军,肖庆宪.基于近似对冲跳跃风险的期权定价[J].系统工程,2013,03(03):15-20.

[4]高俊科.B-S期权定价模型中应用连续复利存在的问题[J].金融经济,2014,02(02):120-122. 


支持 牛文 无聊 反对 搞笑 难过 很冷 路过
【字体: 】【收藏】【打印文章

相关文章

    没有相关内容